Forme canonique

**Tamarin** Maître suprême Date d'inscription : 17/09/2015

Définition
La forme canonique est définie par ƒ(x) = a(x - α)² + β où on retrouve le coefficient a de la forme développée et deux nouvelles lettres grecques : Alpha et Béta.

Soient α (alpha) et β (béta) deux réels. On a alors :

Identifier α et β

Soit la fonction ƒ(x) = 3(x + 5)² - 1
On a :
α = -5
β = -1
Attention au piège ! La forme canonique est ƒ(x) = a(x-α)²+β. Si vous avez une fonction avec a(x + 5)² - 1, alors elle se décompose en a(x - (-5))² + (-1).

Calculer α et β

Soit la fonction ƒ(x) = 3x² + 30x + 74
1) Calculer α et β
Forme canonique Exempl15

2) En déduire la forme canonique
On sait que α = -5, β = -1 et a = 3
On a donc ƒ(x) = 3(x - (-5))² - 1 ou ƒ(x) = 3(x + 5)² - 1

Sommet de la parabole

Définition
Le point S sommet de la parabole est tel que S(α;β).
- Si a<0, alors β est le maximum de la fonction
- Si a>0, alors β est le minimum de la fonction
(voir représentation graphique)

Variation de la fonction

Grâce à la forme canonique, on peut trouver les variations de la fonction.

1) Déterminer le sens de variation de la fonction ƒ(x) = -3(x-1)²+4 sur
]-∞ ; 1]

Soit deux réels a et b tels que a < b sur ]-∞ ; 1]

a < b ≤ 1
a-1 < b-1 ≤ 0
(a-1)² > (b-1)² ≥ 0 car la fonction carrée est décroissante sur Forme canonique Rv1010

^-
-3(a-1)² < -3(b-1)² ≤ 0 car -3<0
-3(a-1)²+4 < -3(b-1)²+4 ≤ 4

On a a < b et ƒ(a) < ƒ(b), donc l'ordre n'a pas changé. La fonction est croissante sur ]-∞ ; 1]
Si on avait eu a < b et ƒ(a) > ƒ(b), l'ordre aurait changé et donc la fonction aurait été décroissante.

Avec la forme canonique

1) On peut calculer les antécédents de β

a(x-α)²+β = β
a(x-α)² = 0
Equation produit nul, voir méthode où x-α=0 (Pour que le trinôme existe, on veut a≠0)

2) On peut déterminer le tableau de variation

Voir aussi : la forme factorisée et la forme développée

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